Тройка по матанализу

Все помнят оранжевый учебник по геометрии, по которому в школе изучали равнобедренные треугольники и вычисляли площадь окружности. Один из его авторов Валентин Федорович Бутузов уже много лет преподает на физическом факультете МГУ. Нам было интересно узнать, можно ли овладеть математикой и как правильно ее преподавать, как объяснить сложные понятия простым языком, может ли опытный преподаватель вычислить гения в толпе студентов, как учились 20 лет назад... Об этом в беседе с заведующим кафедрой математики, заместителем декана физического факультета МГУ Валентином Федоровичем Бутузовым.

Валентин Федорович Бутузов каждый четверг участвует в заседаниях деканата физического факультета. Сегодня он тоже там был и даже немного опоздал на интервью

Дела учебные 

- Какие вопросы вы обсуждаете на деканском совещании?

- Вы знаете, львиная доля обсуждений касается двоечников. У нас на каждом курсе есть начальник, потому что курсы большие - по четыреста с лишним человек, каждый начальник курса приходит с делами студентов, которых представляют к отчислению, либо ставят вопрос о том, чтобы разрешить еще одну пересдачу. Есть приказ ректора, согласно которому не ликвидировавшие задолженности за прошедший семестр до 21 февраля, подлежат отчислению. Вот всех таких сидим и обсуждаем, вникаем во всякие обстоятельства, которые позволяют разрешить еще одну пересдачу. Кого-то, естественно, приходится отчислять, кому-то дать еще попытку.

- А много тех, кто не успевает? И каково процентное соотношение отличников и тех, кто так себе?

- Я могу привести примерные данные. Скажем, на первом курсе сейчас, после первой сессии, примерно 10 % отличников, только десять, это где-то человек 50. Курс у нас большой, человек 450. На 4 и 5 успевает примерно половина. Другая половина с тройками. И, думаю, после первого курса человек 25 отчислят.

- А лет 20 назад какая ситуация была на физфаке? Что-то поменялось?

- Да, конечно. За долгие годы эволюция, к сожалению, идет не в положительную сторону. Средний уровень поступающих становится все ниже. Хотя, казалось бы, Московский университет отбирает самые сливки, но тем не менее эти сливки становятся все более жидкими. Более того, я могу судить еще и по тому, что вот уже шесть лет преподаю в нашем СУНЦе. СУНЦ - это специализированный учебно-научный центр, а старое и ныне действующее его название - школа имени Колмогорова. Школа для самых одаренных детей со всей России. Организовал ее академик Андрей Николаевич Колмогоров в 1963 году. Из этой школы вышел уже целый ряд известных ученых. Меня пригласили туда вести геометрию, поскольку я один из авторов школьного учебника по геометрии. Даже за эти шесть лет, что я там преподаю, я вижу, что уровень тех, кто приходит в СУНЦ, становится все ниже и ниже.

- А в чем, вы думаете, причина?

- Причина прежде всего в том, что снижается уровень выпускников общеобразовательной школы. Но не только школа виновата, а и многое другое, что в жизни у нас происходит, образование становится менее престижным. То, что к нам приходят более слабые ребята, чем это было когда-то, это какая-то закономерность. Одна из бед, как мне представляется, состоит в том, что раньше в школе был экзамен по геометрии, а сейчас ни за 9-й класс, ни за 11-й класс его нет. А ведь геометрия занимает особое место. Это предмет, который логике учит. Потому что здесь доказываются теоремы, в других курсах практически теорем нет. Геометрия вырабатывает пространственные представления. А когда экзамены сдавать не надо... Я знаю, что в школах во многих случаях доказательства теорем даже и не учат. Формулируют, например, теорему Пифагора: «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» - и используют ее при решении задач. А как ее доказать? Многие школьники даже и не знают. Конечно, многое здесь зависит от учителя. Роль геометрии и вообще роль математики в школьном образовании в последние годы в значительной мере была ослаблена. И это, мне кажется, очень неправильно. Поэтому, наверное, даже в нашу Колмогоровскую школу, куда отбираются ребята со всей России, тоже уже стало приходить поколение более слабо подготовленное. Я там веду 10-11-е классы. Первый мой двухлетний цикл был четыре года назад. Вообще там система такая: у меня два класса, в каждом классе три часа геометрии в неделю, один час лекций и два урока семинарских занятий, где мы решаем задачи. Так вот, четыре года назад в моих двух классах человек по пять в каждом были блестящие ребята. Они участвовали в различных международных олимпиадах, входили в сборные России, кто-то по математике, кто-то по информатике. Следующие два класса (через два года) были уже послабее, может быть, один-два человека очень сильных. А сейчас практически никого нет. В основном ребята в СУНЦе приличные, конечно. В целом уровень здесь выше, чем в обычных школах, но тенденция к снижению уровня есть.

- А ребята, которые поступают не физфак, заинтересованы в науке, теории или предпринимательстве?

- Конечно, сейчас по окончании физфака отнюдь не все, в отличие от того, как это было 20-30 лет назад, идут в науку или в какие-то конструкторские бюро. Как известно, сейчас нет государственного распределения, раньше каждого в обязательном порядке направляли куда-то, либо ты оставался в аспирантуре или на работу на факультете, а значительная часть распределялась по научным учреждениям. Сейчас этого нет, и многие ищут работу сами. И находят ее. Вообще говоря, наших выпускников берут с удовольствием, потому что эти люди умеют думать, умеют сопоставлять, устанавливать причинно-следственные связи и так далее. У нас неплохая компьютерная подготовка, уже на первом-втором курсе есть специальный блок дисциплин по программированию, решению задач на ЭВМ, компьютерному моделированию. Поэтому многие находят себе место в каких-то фирмах, где такую компьютерную работу выполняют.

- Нравственно студент изменился с момента начала вашего преподавания?

- Наверное, студент - это всегда студент. Но что мне не нравится, и кажется, этого стало больше, то, что молодые девушки курят. И еще, раньше такого и быть не могло, чтобы повсюду валялись пивные банки, бутылки. В этом отношении распущенности стало больше. Идешь утром и видишь, хотя у нас курить запрещено, на лестничной клетке стоят и курят. Естественно, делаешь замечание. Перед входом на факультет тоже все в окурках, жвачках. Это прискорбно, ведь факультет - это наш дом. 

Все дело в лекторах

- Почему вы решили преподавать? Что это для вас?

- Сейчас трудно сказать, решал я или не решал, как-то все шло само собой. Окончил факультет, поступил в аспирантуру сразу по окончании. После того как окончил аспирантуру, меня оставили на работе здесь. Ну а работать на факультете значит обязательно заниматься преподаванием, особенно на нашей кафедре. Кафедра математики - это кафедра общая, которая ведет на первых трех курсах всю математику, одна из самых больших кафедр на факультете. Так что остался работать, преподавал, потом начал читать лекции, так все шло само собой.

- Почему решили на физфак идти, а не на мехмат?

- Были определенные колебания, куда пойти. Мы приехали вместе с моим приятелем, который очень решительно был настроен на физфак, ну и, может быть, под его воздействием подали документы на физфак. Но я никоим образом не жалею, более того, я думаю, что человек, который специализируется на нашей кафедре математики и фундаментально подготовлен в области физики, имеет определенные преимущества перед чистыми математиками. Конечно, прежде всего в постановке задач, в поиске этих задач. Человек, который не очень-то знает физику, часто находится в затруднительном положении, какими задачами ему заниматься. А математика - это просто необходимый аппарат физики, язык физики, поэтому, когда человек хорошо знает физику, у него почти не возникает проблем, какими математическими задачами заниматься. Так что поступал на физфак, а потом стал специализироваться по кафедре математики, потому что мне как-то больше понравились лекторы-математики. У нас на кафедре всегда были выдающиеся лекторы. И вот это сыграло свою роль.

Просто о сложном 

- Вы занимаетесь сингулярными возмущениями, это можно как-то понять человеку, который никак не связан с математикой?

- (Смех.) Можно. Это очень просто. Я вам на простом примере это объясню. Вообще, что означает слово возмущение? Есть какое-то уравнение или какая-то задача, какая-то математическая модель, описывающая то или иное явление, скажем можно написать уравнение, которое описывает колебания маятника, уравнение, которое описывает движение точки. Но никакая математическая модель не бывает абсолютно точной, адекватной физическому явлению, потому что какие-то факторы не учитываются. Например, часто в механике пренебрегают трением, если оно мало, а если его учесть, то нужно силу трения как-то в задачу ввести. Так вот какими-то факторами неизбежно приходится пренебрегать, и тем самым любая модель является приближенной. Но если мы хотим все же эти факторы как-то учесть, мы должны взять более точную модель. Итак, есть некая базовая модель, а то дополнительное, что мы хотим в нее привнести, и называется возмущением. Теперь о том, что такое сингулярное возмущение. Может быть так, что малая на первый взгляд добавка (малое возмущение) приводит к сильному изменению решения задачи. Давайте рассмотрим простейшее уравнение x - 1 = 0. Его решение: x = 1. Добавим в это уравнение маленькое слагаемое, обозначим его буквой е. Рассмотрим уравнение x - 1 + е = 0. Его решение x = 1 - e. Решение изменилось на вот это е. Если е равно одной сотой, то решение изменилось на одну сотую. Можно добавить это е с множителем х, получим уравнение х - 1 + ex = 0. Отсюда, если привести подобные слагаемые, х = 1/1 + е. Это решение также мало отличается от прежнего. Таким образом, мы внесли в уравнение малое возмущение, которое привело к малому изменению решения. Малое возмущение - малое изменение. А теперь я добавлю то же самое е с множителем x². Получаем уравнение ех² + х - 1 = 0. Уравнение стало квадратным. А у него уже два решения, картина качественно изменилась. Далее, если посчитать по известной школьникам формуле корней квадратного уравнения эти два корня и внимательно к ним присмотреться, то можно увидеть, что один из корней мало отличается от единицы, а другой очень сильно. Казалось бы, малая добавка, допустим мы добавили х² с множителем одна миллионная, а изменение, которое при этом получилось, очень существенно. Во-первых, корней стало два, во-вторых, один из корней очень далек от того, что было в исходном уравнении. Вот такое возмущение называется сингулярным... Любая теория возмущений занимается изучением того, как малые возмущающие члены влияют на поведение решения. Теория сингулярных возмущений занимается теми задачами, в которых малые возмущения приводят к сильному изменению решения.

- А это как-то в жизни может быть применено?

- Это находит применение и в математике, и в физике, биологии, химии. Ведь что означает слово математика? Оно от греческого матема, что переводится как познание. Математика - это познание. Каким образом математика познает мир? Математика в отличие от физики, химии и других естественных наук не имеет дела непосредственно с живой или неживой природой. Она имеет дело с математическими моделями физических, биологических, химических явлений. Для любого физического явления можно написать соответствующее уравнение, или, как говорят, математическую модель. И вот для целого ряда задач и в физике, и в химии, и в биологии эти модели представляют собой сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения. Очень много таких задач в химической кинетике, в биологии, в различных областях физики, в гидродинамике, в довольно модной сейчас науке синергетике - теории самоорганизации. Так что это целый класс уравнений, которые возникают в самых разнообразных прикладных задачах.

- А вы лично занимаетесь какими задачами?

- Я и мои коллеги по научной группе занимаемся разработкой асимптотических методов для сингулярно возмущенных задач. Слово асимптотический означает приближенный, асимптота - приближение. Суть асимптотического метода состоит вот в чем. Большинство задач, которые возникают на практике при описании реальных явлений, весьма сложные задачи. И точное решение там никогда не найдешь. Казалось бы, сейчас при очень мощной вычислительной технике можно находить приближенные решения численно. Но этот класс задач плохо поддается численным методам. Там часто стандартные программы не работают. Именно из-за того, что малые добавки сильно влияют на решение. А асимптотический метод - это метод, который позволяет находить приближенное решение с помощью решения более простых задач. Вот, скажем, вы имеете какую-то сложную модель, сложную систему уравнений, спрашивается, какие более простые уравнения надо из нее извлечь, чтобы, решив их, получить приближение для решения исходной задачи. Вот это и есть суть асимптотического метода. Получение приближенных решений для сложной задачи с помощью решения более простых задач.