Задачи Арнольда

"Мир держится на детях, которые учатся", считает выдающийся российский математик Владимир Арнольд

Анри Пуанкаре
(Фото: Harlingue/Roger-Viollet/AFP)

Когда математику Владимиру Арнольду было двадцать лет, он шел как-то весной по льду замерзшего озера: "Началось с того, что лед подо мной стал слегка прогибаться, и под кедами показалась вода. Вскоре я понял, что форма льда - гауссовская колоколообразная, перевернутая, кривая. Еще через минуту стало ясно, что я наблюдаю фундаментальное решение уравнения теплопроводности в обратном времени. И действительно, слегка не дойдя до дельта-функции, лед провалился, и я оказался в проруби диаметром полметра метрах в тридцати от берега". Таким видел мир замечательный ученый и будущий академик Владимир Арнольд.

Недавно Владимир Игоревич стал обладателем премии Shaw Prize. Награда, которую иногда называют "Нобелевской премией Востока", с 2002 года вручается ученым, внесшим важный вклад в астрономию, математику и медицину. Вклад Арнольда - работы в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений, теоретической механики и других разделов математики.

Московский одессит


Владимир Арнольд
(Фото: Алексей Курбатов/РИА НОВОСТИ)

Владимир Арнольд родился в 1937 году в Одессе, но рос и учился в Москве. По-французски начал читать раньше, чем по-русски, а первый доклад сделал в десять лет в ДНО - "детском научном обществе", организованном на дому у выдающегося математика Алексея Ляпунова. В ДНО дети занимались не только тем, что разрешено, - физикой, космологией, геологией, но и тем, что тогда было запрещено, - генетикой и кибернетикой. "Удивительно, сколь много могут перенимать дети от людей "нобелевского" уровня просто в повседневном общении", - вспоминает сегодня Арнольд. Из еженедельных "заседаний" ДНО вышла целая плеяда замечательных ученых, включая филдсовского лауреата Сергея Новикова.

После школы Владимир Арнольд поступил в МГУ на мехмат. Свою первую научную работу переписывал семь раз. И когда уже посчитал задачу решенной и готовой к публикации, то случайно наткнулся на старый том французского математика Коши. Там теорема, над которой он так долго бился, была уже доказана. С тех пор Арнольд не устает повторять: "Самое главное, что ученик должен узнать от учителя, - это то, что некоторый вопрос еще не решен. Дальнейший выбор вопроса из нерешенных - дело самого ученика. Выбирать за него задачу - все равно что выбирать сыну невесту".

Те, кто занимается математикой, знают о знаменитом списке Гильберта. В него была включена 21 математическая проблема. По предположению ученого, именно эти проблемы должны были определить развитие математики в ХХ веке. Студент Арнольд работал над 13-й задачей списка - о представлении непрерывных функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных. За ее решение молодому ученому сразу дали степень кандидата наук. И когда кто-то из членов ученого совета заметил, что за такой значительный результат надо бы дать докторскую, его сосед заметил: "Подождем. У Арнольда есть и другие результаты".

Решение 13-й проблемы Гильберта во многом легло в основу теории КАМ (Колмогорова -Арнольда -Мозера), которая теперь используется при исследовании устойчивости планетных орбит, в теории гироскопов, при управлении пучками заряженных частиц, при анализе "магнитных поверхностей" для удержания плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза. Исследования Арнольда в области теории каустик и волновых фронтов применяются в оптике, космологии, теории гравитационных линз. Его работы оказали влияние на развитие математического моделирования. Арнольд в науке - это не только труд. Это - прозрение.

Дуэлянт


В 2008 году Владимир Арнольд был удостоен Государственной премии. На фото: президент Дмитрий Медведев вручает ученому памятный знак
(Фото: Константин Завражин)

Многие десятилетия математики спорят о том, развивается ли их наука самостоятельно или питается идеями, пришедшими из физики. В начале ХХ века Анри Пуанкаре, дискутируя с Давидом Гильбертом, призывал к "созданию той математики, которая нужна для будущего развития квантовой физики и теории относительности". Эту точку зрения разделяет и Владимир Арнольд. В своей статье "Недооцененный Пуанкаре" он написал: "Сравнивая сегодня влияние проблем Пуанкаре и Гильберта, следует признать, что математика ХХ века следовала скорее предложению Пуанкаре…" Тех, кто с этим не согласен, Арнольд жестко критиковал. Особенно доставалось от него последователям Бурбаки: "Наиболее полным современным воплощением идеи бесполезности математики является деятельность секты бурбакистов".

Знаменитая математическая группа Бурбаки возникла в 1935 году во Франции подобно творческому объединению поэтов или художников. Молодые французские математики Андре Вейль, Жан Дельсарт, Жан Дьедонне, Анри Картан и Клод Шевалле, объединившись под вымышленным псевдонимом Николя Бурбаки, решили выполнить программу Гильберта и изложить математику с единой аксиоматической точки зрения. Несколько поколений бурбакистов писали многотомные "Элементы математики". В разные годы в группу входили такие мировые величины, как Жан-Луи Кошуль, Жан-Пьер Серр, Лоран Шварц, Эмиль Борель, Александр Гротендик, Пьер Картье, Серж Ленг и Джон Тейт. Но в 1983 году вышла последняя публикация Николя Бурбаки, а затем в одном из научных журналов был напечатан его официальный некролог. Программа группы осталась незаконченной.

Арнольд так страстно отстаивал свои позиции в спорах с бурбакистами, что в 2001 году крупнейший французский математик Жан-Пьер Серр вызвал его на... публичную дуэль в Институте Анри Пуанкаре в Париже. "Серр доказывал, что нуль - положительное число, так как он больше нуля (по Бурбаки это так!). Я же отстаивал мнение, что математика - часть физики, и как и физика - наука экспериментальная, отличающаяся только тем, что в физике эксперименты стоят обычно миллиарды долларов, а в математике - единицы рублей", - вспоминает Арнольд. Впрочем, до кровопролития дело не дошло. Завершая дуэль, Жан-Пьер Серр сказал, что математика - наука настолько замечательная, что двое ученых со столь противоположными взглядами не только остались живы, но и могут продолжать плодотворно сотрудничать.

Владимир Арнольд также не разделяет мнение, что математика - это язык. "Манин (Юрий Манин - выдающийся российский математик. - "Итоги") утверждает, что математика своего рода лингвистика с несколько расширенным списком грамматических правил, включающим, скажем, что 1+2=3, а обучение математике - обучение очковтирательству, так как тождественными преобразованиями, которыми только и занимаются математики, открыть ничего нового нельзя".

И тот, кто попробует в присутствии Арнольда заявить, что математика сродни искусству, будет также немедленно остановлен: "Нет! Математика - это именно наука! Но только нет никакой прикладной науки. Есть наука и ее приложения". И Арнольд тут же сошлется на Луи Пастера, который говорил: "Никаких "прикладных наук" не было, нет и не будет: науки открывают новые истины, а в приложениях эти открытия используются..." Но, вероятно, полагает Арнольд, именно снобизм "чистых" математиков и подобных им "экспертов" других специальностей заставляет общество и правительства пренебрежительно относиться к фундаментальной науке и поощрять только так называемые прикладные науки.

Поэтому Арнольд в науке - это не только прозрение. Он еще и позиция.

Задачи и решения


(Фото: Антон Тушин/ИТАР-ТАСС)

У Владимира Арнольда были замечательные учителя. Среди них основатель научной математической школы Андрей Колмогоров, который еще в 1957 году назвал студента Арнольда наиболее сильным молодым математиком в Москве. Теперь и у самого ученого есть достойные ученики. Его семинар - один из старейших и самых знаменитых в Москве.

Каждую осень семинар начинается с оглашения академиком новых проблем. Как признаются его ученики, решить задачу, поставленную Арнольдом, - большое счастье. Но опровергнуть сформулированную им гипотезу еще более почетно, чем доказать. Сам же он никогда не уставал защищать учеников и в предисловии к своей знаменитой книге "Задачи Арнольда" поставил эпиграф: "Мир держится на детях, которые учатся", Роже Пейрефит. Арнольд замечал, что всегда старался следовать принципу Нильса Бора, который на вопрос, почему в Копенгагене есть замечательная школа физиков, а в Лондоне и Париже - нет, отвечал: "Я никогда не боялся показать своим ученикам, насколько я глуп".

Но щедр он не только по отношению к тем, кто решает поставленные им задачи сегодня. Он тратит силы и время на тех, кто придет в науку завтра. Он пытается вовлечь их в решение сложных задач. Арнольд читает публичные лекции в летних школах, выступает перед студентами, школьниками и учителями. В этом смысле он - не кабинетный ученый. О том, как и чему следует или не следует учить детей, он готов кричать, писать, докладывать в Думе (был и такой в его жизни опыт). А еще не устает напоминать людям слова Толстого о том, что сила правительства держится на невежестве народа, и оно знает это, а потому всегда будет бороться против образования.

Нарушитель

О причудах Арнольда ходят легенды. Самые невинные из них - это нелюбовь к журналистам и неприятие Интернета. Ученый принципиально не пользуется электронной почтой и осуждает компьютерщиков, "разрушающих мировую науку и культуру". Арнольд глубоко ценит поэзию. Когда в 1962 году слава о нем дошла до Анны Ахматовой, та захотела познакомиться и пригласила его в гости. Он не пошел - посчитал себя слишком ничтожным.

Арнольд является почетным членом нескольких национальных академий и Лондонского королевского общества, но отказался вступить в Ватиканскую академию наук, и, как он объяснил в личной беседе с Иоанном Павлом II, совсем не из атеистических соображений. Ученый сослался на то, что Ватикан до сих пор не реабилитировал Джордано Бруно. На это Папа напомнил, что Бруно был осужден за утверждение, будто "наукой доказана множественность обитаемых миров". Бруно считал, что некоторые из них достигли более высокого уровня развития, чем земляне. "Откройте мне хоть одну внеземную цивилизацию - и я сразу реабилитирую Джордано Бруно!" - сказал Папа. После этих слов Арнольд хоть и не стал членом Ватиканской академии, но признал Иоанна Павла II "прогрессивно мыслящим человеком".

Весной 1998 года Владимир Арнольд упал, катаясь на велосипеде в пригороде Парижа, и получил тяжелейшую травму головы. Он очнулся через несколько недель, но не узнавал близких и не понимал русского языка. Друзья опасались повторения истории Льва Ландау, который прожил после травмы мозга еще шесть лет, но к науке так и не вернулся.

Арнольд сказал доктору по-французски: "Эта женщина утверждает, что она моя жена". "А сколько лет вы женаты?" "Двадцать четыре", - без ошибки ответил больной. "Арифметические способности сохранены", - записал доктор и уже позже признался пациенту, что любой француз немедленно умер бы от такой травмы, а русские - двужильные. Тем не менее врачи запретили Арнольду заниматься математикой. Запрет был скоро нарушен. Нарушитель получает премии, читает лекции и ведет семинары. Он считает, что основное открытие Ньютона сформулировано им не в известных всем законах, а в мысли, зашифрованной в анаграмме: "Полезно решать дифференциальные уравнения". В 1981 году Международный астрономический союз назвал в честь ученого малую планету - Владарнольдо. Но на самом деле Арнольд - это большая планета.